Conférence pour les parents au Collège Stanislas

Mardi 23 mars, Emmanuel Royer a donné une conférence destinée aux parents des élèves du Collège Stanislas.

Les plus anciennes traces de mathématiques que nous connaissions remontent à trois mille ans avant notre ère. Il s’agissait alors de mesurer et de partager.

Petit à petit, les mathématiques sont devenues une science abstraite, dont l’objectif est de définir et de démontrer. Un pionnier de cette démarche fut Euclide, avec ses Éléments, trois cents ans avant notre ère.

Jeu de l’esprit, développées pour l’honneur de l’esprit humain, faut-il pour autant railler l’inutilité des mathématiques ? Faut-il absolument chercher à toujours les rendre concrètes ?

En 1640, Pierre de Fermat rédige une lettre, restée célèbre. Magistrat, commissaire aux requêtes au parlement de Toulouse, il occupe son temps libre à faire des mathématiques. Il étudie notamment les propriétés des nombres et énonce, dans cette lettre de 1640, ce que les élèves de terminale connaissent aujourd’hui sous le nom de Petit théorème de Fermat.

Les mathématiciens professionnels de l’époque — enseignants, constructeurs de ponts, de routes… — ne prennent pas très au sérieux ces travaux, relevant de ce que l’on nomme aujourd’hui la théorie des nombres, et en questionnent l’utilité.

En parallèle, se développe le besoin de transmettre des messages en les codant, de sorte que seules les personnes auxquelles ils sont destinés puissent les comprendre. Le codage est ancien : César disposait déjà d’une méthode, qu’il est cependant aisé de décoder. Vigenère, originaire de Saint-Pourçain-sur-Sioule, popularise au 16e siècle une méthode dite à clé de Vigenère. Bien que plus robuste, on découvre pourtant, trois siècles plus tard, comment décoder les messages ainsi chiffrés.

Ces méthodes, outre leur manque de robustesse, présentent une faiblesse essentielle : il n’est possible d’envoyer un message codé qu’à un destinataire que l’on a rencontré au préalable.

Pour permettre l’envoi de messages codés à des tiers que l’on n’a pas rencontrés auparavant, Rivest, Shamir et Adleman proposent une méthode en 1977. Celle-ci repose sur le Petit théorème de Fermat, autrefois jugé inutile. L’abstraction, via la notion algébrique de groupe — elle aussi inventée sans objectif immédiat d’application —, a permis des généralisations de cette méthode. Ces généralisations sont celles que nous utilisons au quotidien, au 21e siècle, pour effectuer des transactions financières ou échanger des messages via nos téléphones intelligents.

Leur sécurité repose sur un principe simple : si un entier de plusieurs centaines de chiffres n’est le produit que de deux nombres entiers valant au moins 2 (par exemple, 6 est le produit de 2 et 3, et de rien d’autre, mais 6 n’a pas plusieurs centaines de chiffres…), il est très — très — long de trouver ces deux nombres.

On ne peut cependant garantir qu’une méthode ne sera pas un jour inventée pour les identifier. Pire, un nouveau type d’ordinateur, appelé ordinateur quantique, permettrait de réaliser ce calcul s’il était suffisamment développé. Certes, les ordinateurs quantiques sont encore loin d’être opérationnels, mais est-il sérieux d’ignorer le risque qu’ils représentent pour le codage actuel, au seul prétexte que leur développement reste incertain (d’autant que ces ordinateurs représentent de formidables opportunités dans d’autres domaines, tels que la santé) ?

Il est donc fondamental d’inventer, dès maintenant, des méthodes de codage qui resteraient robustes, quel que soit l’ordinateur employé pour tenter le décodage. C’est à cette tâche que s’emploient déjà des mathématiciennes et mathématiciens, en s’appuyant sur le savoir accumulé pendant les siècles précédents : un savoir suffisamment abstrait pour devenir concret dans un vaste ensemble de situations. Et parce que nul ne sait de quoi demain sera fait, il est nécessaire de ne pas considérer comme inutile ce qui, aujourd’hui, semble trop abstrait.

Retrouvez l’ensemble des conférences de vulgarisation en mathématiques offertes par le CRM-CNRS au Collège Stanislas (Établissement français du réseau AEFE) pour l’année 2025-2026.

Emmanuel Royer a donné cette conférence à l’occasion de la semaine des mathématiques deux fois en Auvergne, à Saint-Sandoux et Clermont-Ferrand.

Professeur des universités de l’Université Clermont-Auvergne, Emmanuel Royer est accueilli en délégation sur fonctions institutionnelles par le CNRS, pour diriger le CRM-CNRS.